La Teología de la Aritmética es un trabajo raro, pero valioso. Ha llegado hasta nosotros dentro del corpus de la obra del eminente neoplatónico Jámblico; pero casi con toda seguridad no se trata del tratado aritmológico que prometió escribir (Sobre la Introducción a la Aritmética de Nicómaco 125.15 y sigs.): el autor de nuestro tratado es desconocido.
Hay dos razones principales que explican la indiferencia de que ha sido objeto este tratado: en primer lugar, el Neoplatonismo en general, y el Neopitagorismo en particular, no son estudios populares en las universidades actuales. En segundo, es innegable que el texto está fragmentado.
El tratado es, de hecho, una compilación, y hace pensar en las notas tomadas por un estudiante. Secciones enteras proceden de La Teología de la Aritmética del famoso e influyente matemático y filósofo Nicómaco de Gerasa, y de la obra Sobre la Década de Anatolio, profesor de Jámblico y obispo de Laodicea. Estas dos fuentes, que constituyen la mayor parte de nuestro tratado, están vinculadas por un texto cuyo origen es en el mejor de los casos hipotético, pero una parte de él muy bien podría consistir en apuntes de una conferencia -tal vez incluso en los de algunas dictadas por el mismo Jámblico. Al menos, el tratado puede fecharse aproximadamente hacia mediados del siglo IV d. C.
El valor del mismo es triple. En primer lugar, desde un punto de vista académico, dado el eclecticismo del autor, éste ha preservado, o refleja, obras que de otra manera hubiéramos perdido: la de Nicómaco es especialmente importante (el libro de Anatolio se ha conservado de modo independiente); pero también hay, por ejemplo, un amplio fragmento de Espeusipo, el sucesor de Platón como jefe de la Academia en Atenas.
El segundo mérito del libro, relacionado con el anterior, es sencillamente que disponemos de pocas muestras de la vasta tradición de la aritmología entre los griegos (en tanto que distinta de la dura ciencia de las matemáticas); La Teología de la Aritmética, aunque oscura a veces, constituye una grata aportación al exiguo corpus de dichos textos.

El tercer mérito principal del tratado es más difícil de explicar. Pitágoras de Samos vivió hacia el final del siglo VI a. C. Nuestro conocimiento de su obra y de la de sus sucesores es por lo habitual exasperantemente escaso, pero se ha conservado lo bastante como para estar seguros de que, mientras en áreas exotéricas como las matemáticas hubo un desarrollo considerable, el aspecto esotérico y religioso de su obra permaneció a lo largo del tiempo basado firmemente en los principios originales y merece plenamente ser llamado Tradición Pitagórica, la cual perduró por lo menos mil años. Al menos, para quienquiera esté familiarizado con los fragmentos del Pitagorismo y el Neopitagorismo, resulta inmediatamente claro que una buena parte de lo que dice La Teología de la Aritmética podría haberlo dicho igualmente -y así fue en muchos casos- un pitagórico de los siglos quinto o cuarto antes de Cristo
Enseguida diré algo más sobre esta tradición aritmológica pitagórica, ahora sólo necesito decir lo siguiente. Como los cabalistas, los pitagóricos reconocían diez principios de todas las cosas. Estos diez principios son identificados con el primer ciclo de los diez números, o descritos como tales. Nuestro tratado sencillamente toma cada uno de los números del uno al diez y dedica unas pocas páginas a la descripción de sus cualidades y a la razones de esas cualidades. Estas son matemáticas en primer lugar, y luego por extensión alegóricas. Así, por ejemplo, el número uno está presente en todos los números y les hace ser lo que son. Esta es una neta proposición matemática; una extensión es llamar al número uno Intelecto, Artífice, Prometeo.

Este enfoque se ha considerado a menudo una monserga supersticiosa, pero en realidad sólo es un enfoque teológico distinto de aquéllos a los que estamos más acostumbrados. Las matemáticas son el lenguaje más abstracto que conoce la humanidad;1 basar en él una teología es intentar describir las leyes abstractas, distintas a sus aplicaciones, que gobiernan el universo de Dios. La naturaleza sobresaliente de La Teología de la Aritmética, y su tercer mérito principal, es que a un nivel se trata de matemática griega irreprochable, y totalmente simple (pues la complejidad de las matemáticas reside en la demostración de los teoremas, y no meramente en la terminología, los axiomas o las conclusiones) -pero la más sencilla afirmación matemática se encuentra imbuida simultáneamente de un alcance religioso. El texto muestra claramente que para los pitagóricos las matemáticas eran más que una ciencia: Dios se manifiesta en las leyes matemáticas que todo lo gobiernan, y la comprensión de esas leyes, e incluso simplemente el ejercicio de la matemática, podían llevarle a uno más cerca de Dios.

En el mundo occidental, la aritmología se asocia inevitablemente con el nombre de Pitágoras y sus seguidores. No deberíamos olvidar, sin embargo, que mucho después de la desaparición de las escuelas pitagóricas, el aspecto sagrado del número todavía florecía entre los místicos judíos y cristianos. El estudio y uso de la gematría por los cabalistas judíos es relativamente bien conocido; más a menudo se olvida el hecho de que incluso escritores cristianos fundamentales como Juan de Ruysbroeck (1293-1381) estaban perfectamente preparados para ver a los números como efectivos símbolos y paradigmas de los principios divinos.2
Entre los griegos, la aritmología disfrutó de larga historia, como ya se ha subrayado. Se la practicó y estudió al mismo tiempo que la ciencia de la matemática, y por las mismas personas. Hasta donde se sabe, apenas acababan los griegos de ser incitados (probablemente por el contacto con Oriente Medio) a elevar a las matemáticas desde el nivel del mercado al de pura ciencia, que ya empezaban también a percibir las connotaciones filosóficas y religiosas de lo que estaban haciendo. No es generalizar demasiado afirmar que los filósofos griegos quedaron impresionados por el aparente ordenamiento del universo y que éste fue para ellos el principal argumento a favor de la presencia de una Inteligencia tras él. Los pitagóricos sencillamente atribuyeron esta ordenación a la presencia del número: los números contienen y manifiestan las leyes del universo de Dios. Y puesto que todos los números que vienen después del diez son repeticiones del primer ciclo, la primera década sola manifiesta estos principios.

Debería observarse, de paso, que la idea de que las leyes que gobiernan el universo son numéricas no tiene nada de absurdo en sí misma. No es sólo que nos gusten fórmulas del tipo E=mc2 -quizá éstas se diferencien en que están respaldadas por pruebas científicas. Más significativo es el hecho de que también nos agrade aceptar fenómenos matemáticos más misteriosos, como la serie del crecimiento natural de Fibonacci, o la ley de distancias entre planetas de Bode, y una multitud de otras series y constantes. ¿Tenemos derecho, me pregunto, a alabar a éstos como científicos, pero a condenar a los pitagóricos como irracionales?

Debería observarse también que aunque el intento de los pitagóricos por dar un sentido a las peculiares propiedades del número sea místico y pasado de moda, esas peculiares propiedades no han sido explicadas o justificadas por los modernos matemáticos. Existen, y o bien uno las ignora y continúa con las operaciones matemáticas, o les da significado, que es lo que hacen los aritmólogos.
Los comienzos de la aritmología entre Pitágoras y sus inmediatos sucesores nos son desconocidos. Tanto las matemáticas como su contraparte mística pertenecían en ese tiempo a la tradición oral. Sin embargo, hacia el final del siglo V a. C. es seguro que Filolao de Crotona escribió sobre aritmología; tal vez su gran fama dependa de que fue el primero en hacerlo sistemáticamente. De su obra se conservan varios fragmentos, pero la autenticidad de muchos de ellos es discutida. No obstante, queda lo suficiente como para ofrecer vislumbres de una aritmología que no difiere mayormente, en contenido o calidad, de lo que encontramos en nuestro tratado.

Los dos grandes nombres a partir del comienzo del siglo IV a. C. son Arquitas de Tarento y, desde luego, Platón. Es verdad que Arquitas logró avances en la ciencia de las matemáticas; pero mi opinión es que dejó la aritmología prácticamente como la encontró, aunque ciertamente escribiera sobre el tema. En cuanto a Platón, cuyo entusiasmo por las matemáticas (y la aritmología, especialmente en el Timeo, algunas partes de La República, Epinomis y en su doctrina no escrita según refieren Aristóteles y otros) no puede ser sobrestimado, es una polémica sin solución el saber si tomó de una tradición anterior o fue un innovador en dicho campo. Quienes no desean que su grandeza sea empañada por una insinuación de plagio deberían recordar que en el mundo antiguo el tomar prestado un material no era un robo sino un signo de respeto. Es probable que al mismo tiempo haya recurrido a la tradición y la haya desarrollado.3 La Academia de Platón fomentó ciertamente tanto las matemáticas como la aritmología, según podemos deducir de los títulos de algunos libros que se han perdido y que fueron escritos por Espeusipo y Xenócrates, sus sucesores en la dirección de la Academia, y por la presencia en ésta del eminente matemático Eudoxo de Cnido y otros.
En los siglos que siguieron a Platón, la ciencia de las matemáticas continuó en obras técnicas como las de Euclides, Arquímedes, Herón y Pappo, pero la historia de la aritmología se oscurece. No es sino hasta el primer siglo después de Cristo que de nuevo comenzamos a disponer de textos de la época. Las fragmentarias muestras de los siglos que hay entre dichas fechas nos permiten asegurar que los postulados aritmológicos fueron utilizados en varios comentarios a los Diálogos de Platón (especialmente del Timeo, desde luego); pero sobre la corriente principal sólo podemos hacer conjeturas. Que hubo progreso es claro: en primer lugar, los aritmólogos habrán absorbido útiles desarrollos de las matemáticas, como evidencia que corroborara alguna propiedad de cierto número de la década, o más generalmente en tanto que confirmación de la importancia del número en el universo; en segundo lugar, los textos de los siglos posteriores de los cuales disponemos asignan más propiedades a los números de la década que las que con seguridad podemos decir se asignaban en siglos anteriores, lo que sugiere que en dicho intervalo fue cuando comenzaron a adjudicarse estas propiedades; y en tercer lugar, a medida que las modas filosóficas iban y venían, la aritmología absorbía el lenguaje y algunas de las doctrinas del Platonismo, el Aristotelismo y el Estoicismo. Y más importante, los últimos textos que se conservan a menudo muestran un alto grado de unanimidad de pensamiento e incluso de lenguaje. Esto sugiere que hubo algún escritor común de importancia, cuyo nombre desconocemos (se suele pensar en el polimatemático Posidonio, c. 135-c. 50 a. C.), pero que puede datarse hacia el siglo II a. C.4

Este maestro desconocido parece haber dado un nuevo ímpetu al Pitagorismo. Sin duda el nombre de Pitágoras nunca dejó de estar en los labios de todos los aritmólogos de estos siglos; pero en el siglo I a. C., en Roma y Alejandría, los pensadores que hoy llamamos Neopitagóricos comenzaron a reivindicar de nuevo una descendencia directa del maestro. Muchos de estos filósofos, como Publio Nigidio Fígulo (s. I a. C.), Apolonio de Tiana (s. I d. C.) y Numenio de Apamea (s. II d. C.), son ahora poco más que nombres para nosotros, aunque la obra de otros como Theón de Esmirna y Nicómaco de Gerasa, contemporáneos en el comienzo del siglo II d. C., se ha conservado mejor. No es probable que estemos ante una escuela unificada de pensamiento; pero sin embargo la influencia de este resurgimiento pitagórico fue grande. Y especialmente fuerte sobre los neoplatónicos, pero los primeros neopitagóricos también prepararon el camino para que la aritmología griega entrara en la tradición judía por medio de los trabajos de Filón de Alejandría, y en la cristiana a través de los de Clemente de Alejandría.

Ahora bien, esta reducida historia de la aritmología griega tan sólo se propone arrojar luz sobre nuestro tratado al ubicarlo en su contexto. Eso que llamé estilo tipo 'notas de estudiante' del libro nos advierte de antemano, y el contexto de la vasta tradición aritmológica lo confirma, de que el mejor acercamiento a él sería no considerar nada en el texto como original del anónimo recopilador, y recordar que es mucho más lo que se ha perdido de la antigua aritmología que lo que de ella se conserva.
No es sólo que nuestro autor cite ampliamente a Nicómaco y a Anatolio, ni tampoco que mucho de lo que dice el tratado se pueda encontrar aquí y allá en otros libros. Sucede también que, aparte de uno o dos pasajes más extensos y discursivos (como la discusión sobre la relación entre la péntada y la justicia), constantemente tiene uno la impresión de que lo que se nos está mostrando es la punta del iceberg, de que en realidad se tenía acceso a muchísima más especulación aritmológica que la que conocemos gracias a tratados como La Teología de la Aritmética u ocasionales comentarios de otros filósofos.
Como sugiere la introducción de Keith Critchlow, el modo más convincente de demostrar lo que acabamos de afirmar es que nosotros mismos practiquemos un poco de aritmología. En las últimas páginas del libro encontramos a Anatolio relacionando de distintas maneras los números 36 y 55. Sin embargo, omite un contexto en el que estos números pueden relacionarse, y este contexto es tan obvio que debe haber sido conocido por los griegos. Debería haber sido evidente porque procedía de Platón, cuya autoridad era reverenciada.5
En el Timeo, Platón declaró que la secuencia primaria de los números por medio de los cuales el universo adquiere vida es 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27; estos números se despliegan en un diagrama en forma de lambda del modo siguiente:
1
2 3
4 9
8 27
Un añadido natural a este diagrama, que lo completa en el sentido de que lo convierte en una tetraktys (ver el prólogo de Keith Critchlow), es la inserción de los términos medios geométricos:
1
2 3
4 6 9
8 12 18 27
Tres cosas se hacen claras de inmediato: que los tres términos que hemos incluido suman 36; que los tres vértices del triángulo suman 36; y que el diagrama contiene ahora todos los factores de 36, los cuales, tal como dice nuestro autor, suman 55. (Anatolio menciona un cuarto punto: que las series doble y triple que constituyen por separado los brazos de la lambda suman 55).
Este pequeño ejemplo de semejante especulación va deliberadamente destinado a animar a otros a hacer lo mismo, así como a apoyar mi postulado de que con La Teología de la Aritmética nos hallamos ante la punta de un iceberg. Un académico no podrá aceptar como evidencia una especulación parecida: su disciplina está enraizada necesaria y correctamente en las pruebas textuales disponibles (de otra manera, dejaría de ser la válida disciplina mental que es). Pero pienso que una especulación así, siempre que no llegue a ser demasiado extravagante, puede aportar, en cualquier caso, intuiciones personales acerca de los contenidos de la Tradición Pitagórica.
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ACERCA DE LA MÓNADA
La mónada es la fuente no espacial del número. Se le llama "mónada" por su estabilidad,6 pues conserva la identidad específica de todo número con el que se asocia. Por ejemplo, 3 x 1 = 3, 4 x 1 = 4: se ve cómo la aproximación de la mónada a estos números preserva la misma identidad y no produce un número distinto.
Todo ha sido organizado por la mónada, porque a todo contiene en potencia: pues incluso aunque todavía no sean actuales, contiene sin embargo seminalmente los principios que están en el interior de todos los números, incluyendo los que se hallan en el interior de la díada. Ya que la mónada es par e impar y par-impar;7 lineal, plana y sólida (cúbica, esférica y en la forma de las pirámides, desde las que tienen cuatro ángulos hasta las que tienen indefinido número de ángulos); perfecta y más que perfecta y deficiente; proporcionada y armónica; primaria e incompuesta y secundaria; diagonal y lado; y es la fuente de toda relación, ya sea de igualdad o de desigualdad, como se ha demostrado en la Introducción.8 Además, puede probarse que es a la vez punto y ángulo (con todas las formas de ángulo), y comienzo, medio y fin de todas las cosas, pues, si se la disminuye, limita la indefinida disección de lo que es continuo, y si se la incrementa, define al aumento como igual a los dividendos (y esto se debe a una disposición de la naturaleza divina, no de la humana).9
De cualquier modo (tal como se demostró al inicio de la Aritmética en el diagrama en forma de lambda),10 cada una de las partes dentro de la mónada corresponde a un número entero y lo compensa. De ahí que, al igual que si x es el doble de y, entonces x2 es cuatro veces y2, y x3 es ocho veces y3, y si x es el triple de y, entonces x2 es nueve veces y2, y x3 es veintisiete veces y3 en la disposición ordenada de todos los números, así también, en la disposición ordenada de las partes, si x es la mitad de y, entonces x2 es un cuarto de y2, y x3 un octavo de y3, y si x es un tercio de y, entonces x2 es un noveno de y2, y x3 es un vigésimo séptimo de y3.
Todo compuesto de una pluralidad, o cualquier subdivisión, recibe la forma de la mónada; pues la década es una y el millar es uno, y nuevamente un décimo es uno y un milésimo es uno, y así sucesivamente para todas las subdivisiones ad infinitum.
En cada uno de estos casos se trata de la misma mónada en cuanto a la forma, aunque de diferentes mónadas respecto a la cantidad, pues ella se produce a sí misma a partir de sí misma, así como produce a éstas, exactamente como si fuese el principio del universo y la naturaleza de las cosas; y como a todo mantiene y prohibe que cualquier cosa presente en ella cambie, sólo ella de todos los números se asemeja a la Providencia que todo lo preserva, y es la más adecuada tanto para reflejar el principio de Dios como para ser asemejada a Él, hasta donde es la más próxima a Él.
Es de hecho la forma de las formas, pues es creación gracias a su creatividad e intelecto gracias a su inteligencia; esto queda debidamente demostrado en la mutua oposición de rectángulos y cuadrados.11
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Dice Nicómaco que Dios coincide con la mónada, puesto que Dios es el origen de todo cuanto existe, tal como la mónada en el caso del número; y en ella están comprendidas en potencia cosas que, cuando son actuales, parecen ser extremadamente opuestas (de todas las maneras en que las cosas, hablando en general, puedan ser opuestas), tal como se ve, a lo largo de la Introducción a la Aritmética, con respecto a que la mónada es capaz, gracias a su inefable naturaleza, de convertirse en toda clase de cosas, y de haber comprendido el comienzo, el medio y el fin de todas ellas (ya sea que las entendamos como compuestas por continuidad o por yuxtaposición);12 porque la mónada es el comienzo, el medio y el fin de la cantidad, del tamaño y también de toda cualidad.
Así como sin la mónada no hay en general ninguna composición de nada, así también sin ella no hay conocimiento de nada que fuere, pues ella es una luz pura, la que posee más imperio sobre todo en general, y es semejante al sol y gobierna, de modo que en cada uno de estos aspectos se parece a Dios, y especialmente porque tiene el poder de hacer que las cosas se adapten y combinen, aun cuando estén compuestas de muchos ingredientes y sean muy diferentes unas de otras, tal como Él hizo este universo armónico y unificado a partir de cosas que asimismo son opuestas.
Además, la mónada se produce a sí misma y es producida de sí misma, pues es autosuficiente y no tiene a ningún poder por encima de ella y es sempiterna; y es ella evidentemente la causa de la permanencia, tal como se considera lo es Dios en el caso de las cosas físicas actuales, El cual es también el preservador y mantenedor de las naturalezas.
Así ellos13 dicen que la mónada es no sólo Dios, sino también 'intelecto' y 'andrógino'. Se le llama 'intelecto' por ese aspecto de Dios que es el que más imperio tiene tanto en la creación del universo como en general en toda habilidad y en toda razón: incluso si este aspecto de Dios no se manifiesta él mismo como un todo en los asuntos particulares, aún así en relación con su actividad es Intelecto, pues respecto a su conocimiento es identidad y no varía. De igual manera, la mónada, que aún diferenciada en las distintas clases de cosas ha comprendido conceptualmente todo dentro de sí misma, es por así decir un principio creativo y se asemeja a Dios, y no se altera con respecto a su propio principio, y prohibe que cualquier otra cosa se altere; pues es verdaderamente sin cambio, y la Parca Atropos.14
Por eso se la llama 'artífice' y 'modelador', pues en sus procesiones y recesiones toma en consideración las naturalezas matemáticas, de las cuales surgen las instancias de la corporalidad, la propagación de las criaturas y la composición del universo. De ahí que la llamen 'Prometeo', el artífice de la vida, porque, única en ello, ni se excede ni se aparta de su propio principio,15 ni permite que nada más lo haga, pues hace participar de sus propias cualidades. Y es que por mucho que se extienda, o por más extensiones que cause, continúa prohibiendo que se deje atrás o se cambie el principio fundamental de ella misma y de esas extensiones.
Así pues, en pocas palabras, consideran que es la semilla de todo, y tanto macho como hembra a la vez -no sólo porque piensan que lo que es impar es macho porque es difícil de dividir y lo que es par es hembra por ser fácil de separar, y tan sólo ella es tanto par como impar, sino también porque se la considera padre y madre, ya que contiene los principios tanto de la materia como de la forma, del artesano como de lo que es elaborado; es decir que, cuando es dividida, da origen a la díada. (Pues es más fácil para un artesano el procurarse materia para sí mismo, que lo inverso suceda: que la materia se procure un artesano).16 Y la semilla que, hasta donde concierna a su propia naturaleza, es capaz de producir tanto hembras como machos, cuando se disemina no sólo produce la naturaleza de ambos sin distinción, sino que también lo hace durante el embarazo hasta un cierto punto; pero cuando empieza a formarse en un feto y a crecer, entonces admite la distinción y la variación de una u otra manera, conforme pasa de la potencialidad a la actualidad.17
Si el potencial de todo número está en la mónada, entonces la mónada será el número inteligible en sentido estricto, pues todavía no está manifestando nada actual, pero todo es conceptualmente simultáneo en ella.
Hay cierta plausibilidad en que también la llamen 'materia' e incluso 'receptáculo de todo', ya que incluso produce la díada (que es materia, estrictamente hablando) y es capaz de contener todos los principios; pues es de hecho productiva y dispuesta a compartirse a sí misma con todo.
Asimismo, la llaman 'Caos', el cual es para Hesíodo el primer generador,18 puesto que Caos da origen a todo lo demás, como hace la mónada. También se considera que es tanto 'mezcla' como 'combinación', 'oscuridad' como 'tinieblas', gracias a la ausencia de articulación y distinción de todo lo que resulta de ella.
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Dice Anatolio que se la llama 'matriz' y 'materia', basándose en que sin ella no hay número.
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El signo que representa a la mónada es un símbolo del origen de todas las cosas.19 Y manifiesta su afinidad con el sol en la suma total de su nombre: pues la palabra 'mónada' cuando se suma da como resultado 361, que son los grados del círculo zodiacal.20
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Los Pitagóricos llamaron a la mónada 'intelecto' porque pensaban que el intelecto era semejante al Uno; entre las virtudes, comparaban a la mónada con la sabiduría moral; pues lo que es correcto es uno. Y la llamaron 'ser', 'causa de la verdad', 'simple', 'paradigma', 'orden', 'concordia', 'lo que es igual entre lo mayor y lo menor', 'el medio entre la intensidad y la calma', 'moderación en la pluralidad', 'el ahora inmediato en el tiempo', y además la llamaron 'nave', 'carruaje', 'amigo', 'vida', 'felicidad'.
También, dicen que en el medio de los cuatro elementos permanece cierto cubo monádico ígneo, cuya posición central afirman Homero conocía cuando dijo: "Tan abajo como está el Hades, tan por encima de la Tierra están los Cielos".21 En este contexto, parece como si los discípulos de Empédocles y de Parménides y casi la mayoría de los sabios antiguos hubieran seguido a los pitagóricos al declarar que el principio de la mónada está situado en el medio a la manera de la Tierra, y que mantiene su ubicación por ser equilibrado; y también Eurípides, quien fue discípulo de Anaxágoras, menciona a la Tierra como sigue: "Aquéllos que son sabios entre los mortales consideran que eres la Tierra".22
Además, los pitagóricos dicen que también el triángulo rectángulo fue formado por Pitágoras cuando consideró a los números del triángulo mónada por mónada.
[...]
Llamar a la mónada 'Proteo', como hacen ellos, no es extraño, pues en Egipto era el semidiós que podía asumir cualquier forma y contenía las propiedades de todas las cosas, tal como la mónada es el factor de todo número.
Traducción: J. M. Río


NOTAS
1 Como mi amigo Steve Lee (a quien este libro está dedicado) dijo una vez: "¿Cómo podrías comunicarte con una especie inteligente, pero totalmente extraña, si no fuese por medio del número?"
2 Pienso en concreto en su Comentario acerca del Tabernáculo de la Alianza; pero éste no se ha comenzado a traducir hasta ahora, bajo los auspicios del Ruusbroecgenootschap de Holanda.
3 Hasta donde puede decirse que una tradición se desarrolla; es más exacto decir que puede ser revestida de diferentes formas.
4 Ver F. E. Robbins, "The Tradition of Greek Arithmology", Classical Philology 1921, págs. 97-123.
5 Respecto a lo que sigue, estoy en deuda con Rod Thorn.
6 El autor sigue una etimología tradicional de monas y la hace derivar de menein (ser estable).
7 Para estos y otros términos, ver el Glosario. La mónada se llama a la vez par e impar porque si se suma a un número par, el resultado es impar, mientras que si se suma a un número impar, el resultado es par. Por eso se consideraba que tenía las propiedades tanto de la paridad como de la singularidad.
8 Probablemente sea referencia a Nicómaco: Introducción a la Aritmética, I.23.4-17 y II.2.1-2. Suponiendo que la mónada es la fuente de la igualdad porque la primera manifestación de la igualdad es 1 = 1, entonces esos pasajes son relevantes, pues argumentan que todas las formas de desigualdad son derivables de la igualdad y reducibles de nuevo a ella.
9 El texto de esta sentencia es extremadamente difícil y puede haber una laguna antes de 'pues,' pero parece significar, en primer lugar, que si se toma 1/n, entonces, sin importar las muchas partes en las que 1 se divida, cada parte es todavía una mónada por derecho propio; segundo, que si se toma n/1, n sigue siendo 1 + 1 + 1 … n.
10 La familiaridad de la referencia hace que parezca que se trata de nuevo de la Introducción de Nicómaco (ver nota 3); pero no hay ningún diagrama en forma de lambda al comienzo de la misma. Sin embargo, en su comentario al libro de Nicómaco, Jámblico deriva de él un diagrama en esa forma que demuestra la 'oposición natural' de los enteros y las fracciones. De manera que la referencia es a Nicómaco, pero comentado por Jámblico (14.3 sigs.). La aplicación del diagrama de Jámblico que se relaciona con nuestro texto es la siguiente:
1 1
2 1/2 3 1/3
4 1/4 ó 9 1/9
8 1/8 27 1/27

11 Nicómaco, Introducción a la Aritmética II.19, argumenta que el entero universo está hábilmente tramado mediante la armonización de la oposición de las secuencias de los números cuadrados y rectangulares.
12 Ver, p. ej., págs. 55, 60, n. 13: Todas las cosas o bien son continuas y tienen tamaño, o están yuxtapuestas y tienen cantidad.
13 Todo 'ellos' sin atribuir que aparece en este tratado se refiere a 'los pitagóricos'.
14 Una de las tres Parcas: su nombre significa 'la que no es desviada'.
15 La etimología de Prometeo se deriva aquí del griego 'no correr más', 'no aventajar'.
16 Aquí el argumento es que la mónada tiene precedencia sobre la díada (ver pág. 42), pero en la página 46 hay un argumento de que coexisten. Ambos pasajes son probablemente de Nicómaco, así pues deberían resolverse en la idea de que la mónada es la más importante del par de orígenes primarios y coexistentes, la mónada y la díada, o la mismidad y la diferencia.
17 Los postulados de la embriología griega que vienen al caso son que el padre da la forma, la madre la materia; y que la diferenciación del género no ocurre durante los primeros días del embarazo (ver págs. 83-84, 93-94).
18 Hesíodo, Teogonía 116.
19 Presumiblemente (alfa) es el 'signo que representa a la mónada' (ver nota siguiente). Con él comienza la palabra arkhé (origen).
20 Las letras del alfabeto griego también servían como símbolos numéricos: de ahí que fuese obvio un sistema de gematría. El griego monas vale 40 + 70 + 50 + 1 + 200. Presumiblemente se da 361 en lugar de 360 como número de grados porque el primero [de estos] se cuenta dos veces, para indicar un círculo completo. [También puede considerarse que se está añadiendo el punto central del círculo -correspondiente con la unidad aritmética- lo que conformaría precisamente el símbolo astrológico del sol. N. t.].
21 Ilíada 8.16.
22 Eurípides, fragmento 938.